جواب درس هفتم منطق دهم انسانی | احکام قضایا
پاسخ کامل درس ۷ منطق دهم «احکام قضایا» شامل جواب سوالات و تمرین‌های صفحات ۶۲ تا ۷۰ کتاب درباره مربع تقابل، تناقض، تضاد، تداخل، تداخل تحت تضاد و عکس مستوی.
درس هفتم منطق دهم، احکام قضایا، دربارهٔ روابط میان قضیه‌ها و نتیجه‌گیری از صدق و کذب آنهاست. پاسخ تمرین‌های مربع تقابل، عکس مستوی و فعالیت‌های تکمیلی این درس را در ادامه بخوانید. جدول‌ها نیز تکمیل شده‌اند تا تشخیص رابطه‌ها و مقایسهٔ پاسخ‌ها آسان‌تر باشد.
جواب سوال صفحه ۶۲ منطق دهم
اگر قضیهٔ موجبهٔ کلیه «هر دانش‌آموزی دارای کتاب درسی است»، صادق باشد، نام قضایای زیر و صدق و کذب آنها را تعیین کنید:
پاسخ:
| قضیه | نام قضیه | صادق / کاذب |
|---|---|---|
| هر دانش‌آموزی دارای کتاب درسی است. | موجبهٔ کلیه | صادق |
| هیچ دانش‌آموزی دارای کتاب درسی نیست. | سالبهٔ کلیه | کاذب |
| بعضی از دانش‌آموزان دارای کتاب درسی هستند. | موجبهٔ جزئیه | صادق |
| بعضی از دانش‌آموزان دارای کتاب درسی نیستند. | سالبهٔ جزئیه | کاذب |
وقتی همهٔ دانش‌آموزان کتاب درسی دارند، بعضی از آنها نیز کتاب دارند؛ اما نمی‌توان گفت هیچ‌کدام یا بعضی از آنها کتاب ندارند.
جواب تمرین صفحه ۶۳ منطق دهم
صدق و کذب روابط زیر را مشخص کنید:
پاسخ: در رابطهٔ تناقض، دو قضیه همیشه ارزش صدق مخالف دارند؛ اگر یکی صادق باشد، دیگری کاذب است و برعکس. پاسخ هر دو شکل کتاب به صورت زیر است:
شکل اول: «هر الف ب است» و «بعضی الف ب نیست»
| فرض مسئله | نتیجه |
|---|---|
| «هر الف ب است» صادق است. | «بعضی الف ب نیست» کاذب است. |
| «هر الف ب است» کاذب است. | «بعضی الف ب نیست» صادق است. |
| «بعضی الف ب نیست» صادق است. | «هر الف ب است» کاذب است. |
| «بعضی الف ب نیست» کاذب است. | «هر الف ب است» صادق است. |
شکل دوم: «هیچ الف ب نیست» و «بعضی الف ب است»
| فرض مسئله | نتیجه |
|---|---|
| «هیچ الف ب نیست» صادق است. | «بعضی الف ب است» کاذب است. |
| «هیچ الف ب نیست» کاذب است. | «بعضی الف ب است» صادق است. |
| «بعضی الف ب است» صادق است. | «هیچ الف ب نیست» کاذب است. |
| «بعضی الف ب است» کاذب است. | «هیچ الف ب نیست» صادق است. |
جواب تمرین صفحه ۶۴ منطق دهم
صدق و کذب روابط زیر را مشخص کنید:
پاسخ: رابطهٔ دو قضیهٔ این تمرین «تضاد» است.
| فرض مسئله | نتیجه |
|---|---|
| «هر الف ب است» صادق است. | «هیچ الف ب نیست» کاذب است. |
| «هر الف ب است» کاذب است. | صدق و کذب «هیچ الف ب نیست» مشخص نیست. |
| «هیچ الف ب نیست» صادق است. | «هر الف ب است» کاذب است. |
| «هیچ الف ب نیست» کاذب است. | صدق و کذب «هر الف ب است» مشخص نیست. |
دو قضیهٔ متضاد نمی‌توانند هم‌زمان صادق باشند، اما ممکن است هر دو کاذب باشند. برای مثال، اگر بعضی دانش‌آموزان ورزشکار باشند و بعضی نباشند، هر دو جملهٔ «همهٔ دانش‌آموزان ورزشکارند» و «هیچ دانش‌آموزی ورزشکار نیست» کاذب‌اند.
جواب سوال صفحه ۶۵ منطق دهم
اگر کسی بگوید که «هیچ کتابی بیش از دویست صفحه ندارد»، چگونه می‌توانیم حکم وی را نقض کنیم؟
پاسخ: کافی است یک کتاب با بیش از دویست صفحه به او نشان دهیم؛ برای مثال، کتابی که سیصد صفحه دارد. همین یک نمونه ثابت می‌کند که حکم کلی او درست نیست. به این کار «آوردن مثال نقض» می‌گویند.
جواب تمرین صفحه ۶۶ منطق دهم
صدق و کذب روابط زیر را مشخص کنید:
پاسخ: رابطهٔ قضیه‌های هر شکل «تداخل» است. از صدق کلیه به صدق جزئیه و از کذب جزئیه به کذب کلیه می‌رسیم؛ عکس این نتیجه‌گیری‌ها الزامی نیست.
شکل اول: موجبهٔ کلیه و موجبهٔ جزئیه
| فرض مسئله | نتیجه |
|---|---|
| «هر الف ب است» صادق است. | «بعضی الف ب است» صادق است. |
| «هر الف ب است» کاذب است. | صدق و کذب «بعضی الف ب است» مشخص نیست. |
| «بعضی الف ب است» صادق است. | صدق و کذب «هر الف ب است» مشخص نیست. |
| «بعضی الف ب است» کاذب است. | «هر الف ب است» کاذب است. |
شکل دوم: سالبهٔ کلیه و سالبهٔ جزئیه
| فرض مسئله | نتیجه |
|---|---|
| «هیچ الف ب نیست» صادق است. | «بعضی الف ب نیست» صادق است. |
| «هیچ الف ب نیست» کاذب است. | صدق و کذب «بعضی الف ب نیست» مشخص نیست. |
| «بعضی الف ب نیست» صادق است. | صدق و کذب «هیچ الف ب نیست» مشخص نیست. |
| «بعضی الف ب نیست» کاذب است. | «هیچ الف ب نیست» کاذب است. |
جواب تمرین صفحه ۶۷ منطق دهم
صدق و کذب روابط زیر را مشخص کنید:
پاسخ: در رابطهٔ «تداخل تحت تضاد»، از کذب یکی از دو قضیه به صدق دیگری می‌رسیم؛ اما صدق یکی، وضعیت دیگری را مشخص نمی‌کند.
| فرض مسئله | نتیجه |
|---|---|
| «بعضی الف ب است» صادق است. | صدق و کذب «بعضی الف ب نیست» مشخص نیست. |
| «بعضی الف ب است» کاذب است. | «بعضی الف ب نیست» صادق است. |
| «بعضی الف ب نیست» صادق است. | صدق و کذب «بعضی الف ب است» مشخص نیست. |
| «بعضی الف ب نیست» کاذب است. | «بعضی الف ب است» صادق است. |
برای مثال، «بعضی دانش‌آموزان شناگرند» و «بعضی دانش‌آموزان شناگر نیستند» می‌توانند هر دو صادق باشند؛ بنابراین از صدق یکی نباید کذب دیگری را نتیجه گرفت.
جواب تمرین صفحه ۶۹ منطق دهم
عکس مستوی قضایای زیر را بنویسید:
هیچ مسلمانی کافر نیست.
پاسخ: هیچ کافری مسلمان نیست.
هر ایرانی وطن‌دوست است.
پاسخ: بعضی وطن‌دوستان ایرانی هستند.
بعضی حیوانات گربه نیستند.
پاسخ: عکس لازم‌الصدق ندارد؛ زیرا سالبهٔ جزئیه است.
نمی‌توان از آن نتیجه گرفت «بعضی گربه‌ها حیوان نیستند». در همین مثال، قضیهٔ نخست صادق است، اما جملهٔ حاصل از جابه‌جایی، کاذب است.
بعضی سنگ‌ها آهکی هستند.
پاسخ: بعضی آهکی‌ها سنگ هستند.
جواب فعالیت های تکمیلی صفحه ۶۹ منطق دهم
۱. فرق قواعد مربع تقابل و عکس مستوی از نظر جایگاه موضوع و محمول قضیه در چیست؟
پاسخ: در مربع تقابل، موضوع و محمول دو قضیه یکسان‌اند و جای آنها تغییر نمی‌کند؛ تفاوت قضیه‌ها در کمیت یا کیفیت یا هر دو است. در عکس مستوی، موضوع و محمول جابه‌جا می‌شوند؛ موضوعِ قضیهٔ نخست، محمولِ عکس و محمولِ آن، موضوعِ عکس می‌شود.
۲. در فرض صادق بودن قضیهٔ نخست، صدق یا کذب قضیهٔ دوم را مشخص کنید و نام رابطهٔ میان آنها را بیان کنید:
الف) همهٔ کارمندان مالیات می‌پردازند.
بعضی کارمندان مالیات نمی‌پردازند.
پاسخ: قضیهٔ دوم کاذب است؛ رابطهٔ آنها تناقض است.
ب) بعضی فیزیک‌دانان اقتصاددان نیستند.
همهٔ فیزیک‌دانان اقتصاددان هستند.
پاسخ: قضیهٔ دوم کاذب است؛ رابطهٔ آنها تناقض است.
ج) هیچ مسافری در راه نیست.
همهٔ مسافران در راه هستند.
پاسخ: قضیهٔ دوم کاذب است؛ رابطهٔ آنها تضاد است.
د) هیچ مسافری در راه نیست.
بعضی مسافران در راه نیستند.
پاسخ: قضیهٔ دوم صادق است؛ رابطهٔ آنها تداخل است. از صدق سالبهٔ کلیه، صدق سالبهٔ جزئیه نتیجه می‌شود.
هـ) هر نهنگی آبزی است.
بعضی آبزی‌ها نهنگ هستند.
پاسخ: قضیهٔ دوم صادق است؛ رابطهٔ آنها عکس مستوی است.
و) بعضی پرندگان مهاجر نیستند.
بعضی پرندگان مهاجر هستند.
پاسخ: صدق یا کذب قضیهٔ دوم مشخص نیست؛ رابطهٔ آنها تداخل تحت تضاد است.
جواب فعالیت های تکمیلی صفحه ۷۰ منطق دهم
۳. الف) با توجه به رابطهٔ میان ستون اول با ستون‌های دیگر جدول زیر، در صورت صادق بودن قضایای ستون نخست، دربارهٔ صدق یا کذب سایر قضایا چه می‌توان گفت؟
پاسخ: در هر ردیف، قضیهٔ ستون نخست را صادق فرض می‌کنیم. خانه‌های رنگی مانند کتاب مربوط به مقایسهٔ قضیه با خودش هستند.
| قضیهٔ صادق | هر الف ب است | بعضی الف ب است | هیچ الف ب نیست | بعضی الف ب نیست |
|---|---|---|---|---|
| هر الف ب است | — | تداخل صادق |
تضاد کاذب |
تناقض کاذب |
| بعضی الف ب است | تداخل نامعلوم |
— | تناقض کاذب |
تداخل تحت تضاد نامعلوم |
| هیچ الف ب نیست | تضاد کاذب |
تناقض کاذب |
— | تداخل صادق |
| بعضی الف ب نیست | تناقض کاذب |
تداخل تحت تضاد نامعلوم |
تداخل نامعلوم |
— |
ب) جدولی مشابه جدول فوق رسم کنید و آن را در فرض کاذب بودن قضایای ستون نخست، تکمیل کنید.
پاسخ: این بار قضیهٔ ابتدای هر ردیف را کاذب فرض می‌کنیم:
| قضیهٔ کاذب | هر الف ب است | بعضی الف ب است | هیچ الف ب نیست | بعضی الف ب نیست |
|---|---|---|---|---|
| هر الف ب است | — | تداخل نامعلوم |
تضاد نامعلوم |
تناقض صادق |
| بعضی الف ب است | تداخل کاذب |
— | تناقض صادق |
تداخل تحت تضاد صادق |
| هیچ الف ب نیست | تضاد نامعلوم |
تناقض صادق |
— | تداخل نامعلوم |
| بعضی الف ب نیست | تناقض صادق |
تداخل تحت تضاد صادق |
تداخل کاذب |
— |
۴. مشخص کنید که در هر یک از روابط مربع تقابل و نیز در رابطهٔ عکس مستوی، کمیت و کیفیت دو قضیه، ثابت می‌مانند یا تغییر می‌کنند.
پاسخ: کمیت به کلیه یا جزئیه بودن و کیفیت به موجبه یا سالبه بودن مربوط است.
| رابطه | کمیت | کیفیت |
|---|---|---|
| تناقض | تغییر می‌کند. | تغییر می‌کند. |
| تضاد | ثابت است؛ هر دو کلیه‌اند. | تغییر می‌کند. |
| تداخل | تغییر می‌کند. | ثابت می‌ماند. |
| تداخل تحت تضاد | ثابت است؛ هر دو جزئیه‌اند. | تغییر می‌کند. |
| عکس مستوی | در موجبهٔ کلیه تغییر می‌کند؛ در موجبهٔ جزئیه و سالبهٔ کلیه ثابت می‌ماند. | ثابت می‌ماند. |
سالبهٔ جزئیه عکس لازم‌الصدق ندارد؛ بنابراین در ردیف عکس مستوی، برای آن قاعده‌ای ذکر نمی‌شود.
۵. کدام‌یک از روابط مربع تقابل و عکس مستوی، از نظر صدق و کذب، یک طرفه و کدام‌یک دو طرفه‌اند؟
پاسخ: تناقض دوطرفه است: صدق هر طرف، کذب طرف دیگر و کذب هر طرف، صدق طرف دیگر را نتیجه می‌دهد. در روابط دیگر، باید به جهت معتبر نتیجه‌گیری توجه کرد:
- تضاد: از صدق یک قضیه به کذب دیگری می‌رسیم؛ از کذب آن، صدق دیگری الزاماً نتیجه نمی‌شود.
- تداخل: صدق کلیه، صدق جزئیه را نتیجه می‌دهد و کذب جزئیه، کذب کلیه را؛ عکس این دو مسیر معتبر نیست.
- تداخل تحت تضاد: از کذب یک قضیه به صدق دیگری می‌رسیم؛ صدق آن، کذب دیگری را ثابت نمی‌کند.
- عکس مستوی: قاعدهٔ عمومی، از صدق اصل به صدق عکس است؛ اما بازگشت از عکس به اصل همیشه ممکن نیست. برای نمونه، از «بعضی ب الف است» نمی‌توان «هر الف ب است» را نتیجه گرفت.
نکتهٔ دقیق‌تر دربارهٔ عکس مستوی این است که در موجبهٔ جزئیه و سالبهٔ کلیه، اصل و عکس هم‌ارزند و می‌توان در هر دو جهت نتیجه گرفت؛ یک‌طرفه بودنِ نتیجه‌گیری در عکس موجبهٔ کلیه آشکار می‌شود.
۶. جدول زیر را کامل کنید:
پاسخ:
| رابطه | هر الف ب است | بعضی الف ب است | هیچ الف ب نیست | بعضی الف ب نیست |
|---|---|---|---|---|
| متناقض | بعضی الف ب نیست. | هیچ الف ب نیست. | بعضی الف ب است. | هر الف ب است. |
| متضاد | هیچ الف ب نیست. | — | هر الف ب است. | — |
| متداخل | بعضی الف ب است. | هر الف ب است. | بعضی الف ب نیست. | هیچ الف ب نیست. |
| متداخل تحت تضاد | — | بعضی الف ب نیست. | — | بعضی الف ب است. |
| عکس مستوی | بعضی ب الف است. | بعضی ب الف است. | هیچ ب الف نیست. | عکس لازم‌الصدق ندارد. |
۷. جملات زیر را با کلمات صادق و کاذب کامل کنید:
الف) دو قضیهٔ متناقض هم‌زمان …… نیستند و هم‌زمان ……. نیستند.
پاسخ: دو قضیهٔ متناقض هم‌زمان صادق نیستند و هم‌زمان کاذب نیستند.
ب) دو قضیهٔ متضاد هم‌زمان …… نیستند؛ اما شاید هم‌زمان ……. باشند.
پاسخ: دو قضیهٔ متضاد هم‌زمان صادق نیستند؛ اما شاید هم‌زمان کاذب باشند.
ج) دو قضیهٔ متداخل تحت تضاد هم‌زمان …… نیستند؛ اما شاید هم‌زمان ……. باشند.
پاسخ: دو قضیهٔ متداخل تحت تضاد هم‌زمان کاذب نیستند؛ اما شاید هم‌زمان صادق باشند.
خلاصه درس هفتم منطق دهم
مربع تقابل رابطهٔ قضیه‌هایی را نشان می‌دهد که موضوع و محمول یکسان دارند، اما در کمیت یا کیفیت متفاوت‌اند. دو قضیهٔ متناقض همواره ارزش صدق مخالف دارند. در تضاد، دو کلیه نمی‌توانند هم‌زمان صادق باشند؛ در تداخل، صدق از کلیه به جزئیه و کذب از جزئیه به کلیه منتقل می‌شود. در تداخل تحت تضاد، دو جزئیه نمی‌توانند هم‌زمان کاذب باشند. در عکس مستوی، موضوع و محمول جابه‌جا می‌شوند: عکس موجبهٔ کلیه، موجبهٔ جزئیه است؛ موجبهٔ جزئیه و سالبهٔ کلیه نوع خود را حفظ می‌کنند و سالبهٔ جزئیه عکس لازم‌الصدق ندارد.
